决战之日——今天的内容占期末考试的半壁江山
线性方程组是线代里最重要的内容，没有之一。基本上期末考试的大题都出自这里。
今天的内容比较多，但你只要跟着步骤来，保证在考试里拿到这部分的分数。
先搞清楚：线性方程组的一般形式
$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$ 可以写成矩阵形式：$AX = b$
如果$b$全为0叫齐次方程组，有非零的$b$叫非齐次方程组。
必考题型一：判断解的情况（白给分的填空题）
设$A$是$m \times n$矩阵，$r(A) = r$，增广矩阵$(A|b)$的秩为$r_1$
| 条件 | 结论 |
|---|---|
| $r(A) = r(A|b) = n$ | 唯一解 |
| $r(A) = r(A|b) < n$ | 无穷多解 |
| $r(A) \ne r(A|b)$ | 无解 |
齐次方程组$AX=0$的特殊情况：
- 一定有零解（$x_1=x_2=\cdots=x_n=0$）
- 当$r(A) < n$时有非零解（考试最爱考这个！）
- 方程个数$m < $ 未知数个数$n$ $\to$ 一定有非零解
- 方阵（$m=n$）且行列式$|A|=0$ $\to$ 有非零解
必考题型二：求齐次方程组的通解（大题套路）
- 写出系数矩阵$A$
- 行变换化成行最简形
- 确定主元变量和自由变量
- 令自由变量取适当的值，求出基础解系
- 通解 = 基础解系的线性组合
例子： $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ 2x_1 + 4x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 主元变量：$x_1, x_3$；自由变量：$x_2$。令$x_2=1 \to x_1=-2, x_3=0$
基础解系：$\xi = (-2, 1, 0)^T$
通解： $x = k(-2, 1, 0)^T$，$k$为任意常数
必考题型三：求非齐次方程组的通解（大题王者）
- 写出增广矩阵$(A|b)$，行变换化成行最简形
- 求对应的齐次方程组的通解（齐次通解）
- 找一个特解$\eta^*$（令自由变量全为0，解出主元变量）
最终答案 = $\eta^* + k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots$
核心结论（写答案时必须这句话）：
"非齐次方程组的通解 = 齐次方程组的通解 + 非齐次方程组的特解"
必考题型四：含参数的方程组（套路中的套路）
题目会给一个方程组里带个参数$\lambda$，问$\lambda$取何值时方程组有无解、唯一解、无穷多解。
策略：
- 写出系数矩阵的行列式（如果是方阵）
- 令行列式$=0$，解出参数的值
- 分别代入这些值，讨论解的情况
今天速成秘诀
- 齐次方程组： 关键在基础解系，基础解系中解向量的个数 $= n - r(A)$
- 非齐次方程组： 通解 = 齐次通解 + 非齐次特解，这个公式必须背熟
- 检验方法： 求出的解代回原方程验证——花30秒验证，避免全盘扣分
今天的作业
- 求一个齐次方程组的通解（3个方程4个未知数，有自由变量）
- 求一个非齐次方程组的通解（大题标准形式）
- 练一道含参数的方程组讨论题
明天是最后一天——总复习+题型战术+心态调整！别掉队！💪