矩阵其实不神秘
你眼睛有没有被那些方括号和一大堆数字吓到过？别怕，矩阵就是一张装了数字的表格，仅此而已。
考试里矩阵相关的题占了很大一部分，分量仅次于方程组。今天咱们搞定它。
必考题型一：矩阵乘法（不会这个别去考试）
设$A$是$m \times n$矩阵，$B$是$n \times p$矩阵，$C = A \times B$就是$m \times p$矩阵。
$C$的第$i$行第$j$列 = $A$的第$i$行 $\times$ $B$的第$j$列（对应位置相乘再相加）
口诀：前行乘后列，对应相乘再加和
例子：$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$ $$A \times B = \begin{bmatrix} 1\times5+2\times7 & 1\times6+2\times8 \\ 3\times5+4\times7 & 3\times6+4\times8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$
重要提醒（必考陷阱）：
- $AB \ne BA$（矩阵乘法不满足交换律！这是高频易错点）
- $AB = 0$ 推不出 $A=0$ 或 $B=0$（填空题陷阱）
- $AB = AC$ 推不出 $B=C$（有零因子）
必考题型二：逆矩阵（期中期末考试必出大题）
逆矩阵的概念：如果$AB = E$（单位矩阵），则$B = A^{-1}$
2阶矩阵求逆的口诀：主互换，副变号，除以行列式
$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \to A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$
例子：$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},\; \det(A) = 1\times4-2\times3 = -2$$ $$A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$$
考试技巧： 求逆矩阵的题目，算完后一定用$A \times A^{-1} = E$验证一下。
3阶及以上矩阵的逆： 用$(A|E) \to$ 行变换 $\to (E|A^{-1})$的方法。
必考题型三：矩阵的秩（rank）
秩 = 非零行的行数（行阶梯形矩阵里）
做法：用行变换把矩阵化成行阶梯形，数一数非零行有几行。
例子：$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ 秩 = 1（只有一行非零）
秩的几条性质：
- $r(A) \le \min(m, n)$（行数和列数的较小值）
- $r(A) = r(A^{T})$（转置秩不变）
- $r(A+B) \le r(A) + r(B)$
- $r(AB) \le \min(r(A), r(B))$
必考题型四：矩阵方程（套路题）
常见形式：$AX = B$ 或 $XA = B$
解法：如果$A$可逆，则：
- $AX = B \to X = A^{-1}B$
- $XA = B \to X = BA^{-1}$
注意位置！$A$在左边乘就是左乘$A^{-1}$，$A$在右边就是右乘$A^{-1}$。顺序搞反了答案全错。
今天的作业
- 找3对矩阵做乘法练习（至少一组$2\times2$乘$2\times2$，一组$3\times2$乘$2\times3$）
- 找3个2阶矩阵求逆
- 找1个$3\times3$矩阵，用$(A|E)$行变换法求逆（大题标准套路）
- 找1个矩阵求秩
明天咱们整向量组——线代里最抽象但套路最固定的内容。💪